Kwantowe uczenie maszynowe QML i obwody PQC: Jak algorytmy VQE, kwantowe sieci neuronowe i jądra Hilberta rozwiązują problem barren plateaus w optymalizacji

Fundamentalne podstawy hybrydowego paradygmatu kwantowego

Współczesna rewolucja w dziedzinie sztucznej inteligencji, napędzana przez wielkie modele transformatorowe i głębokie sieci neuronowe, zderza się z fundamentalnymi barierami termodynamicznymi i obliczeniowymi klasycznego krzemu. Wykładniczy wzrost złożoności przestrzeni stanów w problemach chemii kwantowej, optymalizacji kombinatorycznej oraz wielowymiarowej analizy danych wymusza poszukiwanie paradygmatów obliczeniowych operujących bezpośrednio na prawach mechaniki kwantowej. W tej perspektywie kwantowe uczenie maszynowe, określane powszechnie akronimem QML, przestało być wyłącznie domeną spekulacji fizyków teoretycznych, stając się jednym z najbardziej obiecujących nurtów współczesnej informatyki stosowanej. Kluczowym narzędziem tego przełomu są parametryzowane obwody kwantowe, znane jako obwody PQC, które stanowią bezpośredni kwantowy odpowiednik warstw w klasycznych sieciach neuronowych. W obwodach tych stany kwantowe ewoluują pod wpływem bramek unitarnych sterowanych ciągłymi zmiennymi wagowymi, a optymalizacja tych wag odbywa się w pętli hybrydowej z udziałem klasycznych procesorów obliczeniowych. To właśnie ta hybrydowa symbioza pozwala badać granice możliwości urządzeń ery pośredniej skali z obecnością szumów termicznych i dekoherencji.

Architektura hybrydowa kwantowo-klasyczna stanowi fundament praktycznego wdrożenia algorytmów takich jak wariacyjny solwer własny, czyli VQE, oraz kwantowe sieci neuronowe QNN. W podejściu tym procesor kwantowy odpowiada wyłącznie za realizację operacji, które są eksponencjalnie trudne lub niewykonalne dla klasycznych superkomputerów, a mianowicie za przygotowanie silnie splątanych stanów w wielowymiarowych przestrzeniach Hilberta oraz estymację wartości oczekiwanych wybranych obserwabli fizycznych. Klasyczny koprocesor przejmuje natomiast zadanie ewaluacji funkcji kosztu oraz wyznaczania kierunku optymalizacji za pomocą metod gradientowych lub bezgradientowych. Jednak na drodze do pełnego wykorzystania tej synergii stanęła fundamentalna przeszkoda geometryczna i probabilistyczna, określana w literaturze jako zjawisko barren plateaus, czyli jałowe płaskowyże. Zjawisko to polega na wykładniczym zaniku wariancji gradientów funkcji celu wraz ze wzrostem liczby kubitów, co sprawia, że krajobraz optymalizacyjny staje się doskonale płaski niemal w całej przestrzeni parametrów, uniemożliwiając skuteczne uczenie jakiejkolwiek architektury opartej na losowych ansatzach.

Geometryczna anatomia zjawiska jałowych płaskowyżów

Zrozumienie mechanizmu powstawania jałowych płaskowyżów wymaga wnikliwej analizy teorii miary na grupach unitarnych oraz pojęcia 2-projektów kwantowych. Gdy parametryzowany obwód kwantowy cechuje się zbyt wysoką ekspresywnością i brakiem wewnętrznych ograniczeń symetrycznych, generowany przezeń rozkład stanów kwantowych zaczyna przypominać jednorodny rozkład prawdopodobieństwa względem miary Haara na grupie specjalnej unitarnej SU(2 do potęgi N). W takiej sytuacji lemat McDiarmida oraz geometryczne zjawisko koncentracji miary na wielowymiarowych sferach prowadzą do dramatycznego spłaszczenia funkcji kosztu. Wariacja pochodnej cząstkowej funkcji celu względem dowolnego parametru obwodu maleje wykładniczo jak jeden przez dwa do potęgi N, gdzie N oznacza liczbę operacyjnych kubitów. Oznacza to wprost, że aby odróżnić rzeczywisty kierunek spadku gradientu od statystycznego szumu pomiarowego wynikającego z ograniczonej liczby strzałów kwantowych, konieczne staje się wykonanie wykładniczej liczby pomiarów. Taki wymóg całkowicie niweczy jakiekolwiek korzyści z kwantowego przyspieszenia obliczeniowego, sprowadzając algorytm do losowego błądzenia po bezkresnym płaskowyżu.

Symetrie grupy i kwantowe geometryczne uczenie maszynowe

Przełamanie bariery jałowych płaskowyżów wymagało odejścia od heurystycznych, głębokich obwodów o strukturze losowej na rzecz architektur zorientowanych geometrycznie oraz inspirowanych fizycznymi prawami zachowania. Jednym z najważniejszych kierunków badań stała się konstrukcja obwodów ekwiwariantnych względem symetrii grupy zadania, co dało początek dziedzinie określanej jako kwantowe geometryczne uczenie maszynowe. Jeżeli funkcja kosztu lub reprezentowany układ fizyczny wykazuje określoną symetrię, na przykład niezmienniczość względem translacji przestrzennych, permutacji cząstek lub obrotów spinowych, ansatz obwodu musi być ściśle ograniczony do unitarnych podgrup zachowujących tę symetrię. Poprzez wymuszenie komutacji bramek kwantowych z generatorami grupy symetrii wymiar przeszukiwanej przestrzeni Hilberta ulega drastycznej redukcji. Taka redukcja uniemożliwia układowi próbkowanie pełnej miary Haara, co z kolei zapobiega koncentracji miary i utrzymuje wariancję gradientów na poziomie wielomianowym, gwarantując efektywną zbieżność optymalizatorów gradientowych nawet dla układów liczących dziesiątki kubitów.

Równolegle do geometrycznych ansatzów symetrycznych rozwijana jest koncepcja kwantowych sieci konwolucyjnych, znanych jako QCNN, oraz hierarchicznych sieci tensorycznych typu MERA. Kwantowe splotowe sieci neuronowe rozwiązują problem jałowych płaskowyżów poprzez wprowadzenie struktury piramidalnej, w której kolejne warstwy obwodu redukują liczbę aktywnych kubitów za pomocą operacji splątania i kontrolowanych pomiarów pośrednich. W strukturze QCNN operacje splotu kwantowego realizowane są przez zlokalizowane bramki unitarne działające na sąsiednich kubitach, po czym następuje kwantowa redukcja wymiarowości, czyli pooling, poprzez odczyt stanu części kubitów i wykorzystanie wyników pomiaru do warunkowego sterowania pozostałymi liniami kwantowymi. Dzięki logarytmicznej głębokości obwodu względem całkowitej liczby zmiennych wejściowych oraz ograniczeniu korelacji do lokalnych podukładów, kwantowe sieci splotowe są rygorystycznie wolne od jałowych płaskowyżów dla lokalnych obserwabli. Umożliwia to ich stabilne uczenie w zadaniach rozpoznawania topologicznych faz materii oraz klasyfikacji wielowymiarowych sygnałów fizycznych.

Kwantowe sieci konwolucyjne i hierarchiczne tensory MERA

W dziedzinie symulacji kwantowych struktur molekularnych i materiałowych szczególną rolę odgrywa algorytm VQE w połączeniu z adaptacyjną ewolucją operatorową, znaną jako ADAPT-VQE. W klasycznym wariancie VQE ansatz obwodu jest definiowany a priori, na przykład w oparciu o unitarną teorię sprzężonych klastrów z pojedynczymi i podwójnymi wzbudzeniami, co często prowadzi do nadmiernie głębokich obwodów przekraczających czasy koherencji dostępnych procesorów NISQ. Podejście adaptacyjne odwraca tę logikę: algorytm rozpoczyna pracę od prostego stanu referencyjnego, takiego jak stan Hartree-Focka, a następnie w sposób iteracyjny przeszukuje pulę dopuszczalnych operatorów fizycznych, dołączając do obwodu wyłącznie ten operator, którego komutator z hamiltonianem układu generuje największy gradient funkcji energii. Dzięki temu obwód kwantowy rośnie organicznie tylko w tych kierunkach przestrzeni stanów, które mają bezpośrednie znaczenie dla minimalizacji energii układu, całkowicie omijając zbędne parametry rotacji i eliminując ryzyko uwięzienia w płaskowyżu kosztu.

Nieodłącznym elementem kwantowego uczenia maszynowego jest problem kodowania danych klasycznych do rejestrów kwantowych, czyli proces quantum embedding. Wybór mapy cech, czyli transformacji przekształcającej wektor klasycznych danych w kwantowy stan gęstości, w fundamentalny sposób decyduje o sile ekspresyjnej modelu oraz jego odporności na zjawisko jałowych płaskowyżów. Najprostsze podejścia, takie jak kodowanie bazowe czy kodowanie amplitudowe, choć oszczędne pod względem liczby kubitów lub operacji unitarnych, często nie wykorzystują unikalnych własności interferencji kwantowej lub wymagają obwodów o wykładniczej głębokości do przygotowania arbitralnych stanów. Przełomem stało się zastosowanie nieliniowych map cech opartych na obwodach korelacji wielociałowych, takich jak kwantowe mapy cech ZZ-feature map. W obwodach tych klasyczne zmienne wejściowe determinują kąty rotacji bramek jednokubitowych oraz fazy bramek dwukubitowych splątujących, co powoduje nieliniowe mapowanie danych do nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta operatorów gęstości.

Adaptacyjne algorytmy optymalizacji molekularnej ADAPT-VQE

Koncepcja nieliniowego zanurzania danych w przestrzeni Hilberta prowadzi bezpośrednio do teorii kwantowych metod jądrowych, czyli Quantum Kernel Methods. Zamiast trenować jawne parametryzowane kwantowe sieci neuronowe, co zawsze niesie ze sobą ryzyko napotkania jałowych płaskowyżów podczas optymalizacji gradientowej, badacze mogą wykorzystać procesor kwantowy wyłącznie jako generator nieliniowej funkcji jądra. W takim ujęciu komputer kwantowy oblicza iloczyn skalarny pomiędzy dwoma stanami kwantowymi reprezentującymi różne punkty danych ze zbioru treningowego, mierząc prawdopodobieństwo przejścia pomiędzy przygotowanymi stanami. Otrzymana w ten sposób macierz jądra kwantowego jest następnie przekazywana do w pełni klasycznego algorytmu optymalizacyjnego, na przykład klasycznej maszyny wektorów nośnych SVM. Ponieważ zadanie treningowe maszyny wektorów nośnych sprowadza się do ściśle wypukłego problemu programowania kwadratowego, w algorytmie tym w ogóle nie występuje problem minimów lokalnych ani jałowych płaskowyżów optymalizacyjnych, co zapewnia bezwzględną gwarancję zbieżności do globalnego optimum.

Praktyczne korzyści płynące z kwantowych metod jądrowych zależą jednak od tego, czy wygenerowane jądro kwantowe jest obliczeniowo trudne do zasymulowania klasycznie oraz czy cechuje się zdolnością do generalizacji na nieznanych danych. Jeżeli obwód generujący mapę cech może być efektywnie symulowany za pomocą klasycznych sieci tensorowych lub algorytmów Clifforda, wówczas zastosowanie komputera kwantowego nie przynosi żadnej przewagi obliczeniowej. Z drugiej strony, jeśli mapa cech jest zbyt złożona i generuje ortogonalne stany dla niemal każdego punktu danych w przestrzeni wejściowej, dochodzi do zjawiska geometrycznego zapaści jądra kwantowego, w którym macierz Grama dąży do macierzy jednostkowej, uniemożliwiając klasyfikację. Projektowanie optymalnych jąder kwantowych wymaga zatem precyzyjnego dopasowania struktury hamiltonianu generującego obwód do struktury korelacyjnej analizowanych danych, co stanowi jeden z najbardziej aktywnych obszarów badawczych na styku geometrii algebraicznej, teorii informacji kwantowej i statystyki wielowymiarowej.

Mapowanie cech i nieliniowe zanurzanie danych w przestrzeni Hilberta

Kolejną przełomową strategią walki z jałowymi płaskowyżami jest koncepcja lokalnych funkcji kosztu oraz hierarchicznego trenowania warstwowego. Badania teoretyczne jednoznacznie dowiodły, że globalne funkcje kosztu, mierzące nakładanie się stanu całego N-kubitowego rejestru ze stanem docelowym, prowadzą do jałowych płaskowyżów nawet w bardzo płytkich obwodach o głębokości logarytmicznej. Wynika to z faktu, że globalny operator rzutowy w przestrzeni o wymiarze dwa do potęgi N jest zerowy niemal wszędzie poza nieskończenie wąskim otoczeniem poszukiwanego stanu. Zastąpienie globalnego kryterium optymalizacyjnego sumą lokalnych funkcji kosztu, działających wyłącznie na pojedyncze kubity lub pary sąsiednich kubitów, zasadniczo zmienia geometrię przestrzeni gradientów. W płytkich obwodach kwantowych lokalne funkcje celu gwarantują wielomianowy spadek wariancji gradientu, co umożliwia skuteczne wyprowadzenie układu z początkowej konfiguracji losowej i sukcesywne dostrajanie kolejnych warstw parametrów w procesie uczenia adaptacyjnego.

Metoda gradientu analitycznego na obwodach kwantowych, znana jako reguła przesunięcia parametrów, czyli parameter-shift rule, stanowi fundament różniczkowania programów kwantowych. W przeciwieństwie do klasycznych metod różniczkowania numerycznego za pomocą ilorazów różnicowych, które są katastrofalnie wrażliwe na szum pomiarowy procesora kwantowego, reguła przesunięcia parametrów pozwala na wyznaczenie ścisłej, analitycznej wartości pochodnej cząstkowej funkcji celu. Zasada ta polega na dwukrotnym wykonaniu obwodu kwantowego z przesunięciem badanego kąta rotacji o stałą wartość fazową w przód oraz w tył, a następnie obliczeniu różnicy uzyskanych wartości oczekiwanych. Ponieważ operatory ewolucji unitarnej są generatorami grup Liego o strukturze trygonometrycznej, różnica ta dokładnie odpowiada wartości pochodnej. Zastosowanie tej metody w połączeniu z kwantowym stochastycznym spadkiem gradientu QNG, wykorzystującym kwantowy tensor metryczny Fubiniego-Studiego, pozwala optymalizatorowi poruszać się po rzeczywistej geodezyjnej przestrzeni stanów kwantowych, ignorując zniekształcenia wynikające z nieliniowej parametryzacji bramek.

Kwantowe metody jądrowe jako alternatywa bezgradientowa

Integracja technik QML z przemysłowymi platformami chmurowymi i kriogenicznymi układami sterowania otwiera nową fazę rozwoju technologicznego. Współczesne procesory oparte na nadprzewodzących transmonach, uwięzionych jonach oraz bramkowanych kropkach kwantowych wymagają zaawansowanych algorytmów kalibracji i korekcji błędów, które same w sobie stają się beneficjentami kwantowych sieci neuronowych. Zastosowanie obwodów PQC do estymacji szumów korelacyjnych oraz dynamicznego przekompilowywania bramek unitarnych pozwala na adaptacyjne kompensowanie dryftów częstotliwościowych kriostatu w czasie rzeczywistym. Równocześnie w laboratoriach chemii kwantowej wariacyjne algorytmy optymalizacji cząsteczkowej osiągają zdolność precyzyjnego modelowania katalizatorów wiązania azotu oraz kinetyki reakcji w elektrolitach baterii litowo-siarkowych, gdzie konwencjonalne metody korelacji elektronowej zawodzą ze względu na silne sprzężenia wieloreferencyjne.

Podsumowując, kwantowe uczenie maszynowe przeszło w ostatnich latach głęboką ewolucję od naiwnych prób przenoszenia klasycznych architektur głębokich sieci na rejestry kubitów do dojrzałej, rygorystycznej dyscypliny opartej na geometrii różniczkowej, teorii grup i fizyce statystycznej. Rozwiązanie problemu jałowych płaskowyżów poprzez wprowadzenie symetrycznych ansatzów ekwiwariantnych, kwantowych sieci splotowych, lokalnych funkcji kosztu oraz odpornych metod jądrowych wyznaczyło klarowną mapę drogową dla algorytmów kwantowych ery pośredniej skali. W miarę jak systemy kwantowe przekraczają granicę stu kubitów o wysokiej wierności bramek logicznych, hybrydowe architektury QML stają się uniwersalnym silnikiem obliczeniowym, redefiniującym granice tego, co jest możliwe do zamodelowania i zoptymalizowania w najbardziej złożonych problemach współczesnej nauki i technologii.

Lokalne funkcje kosztu i analityczna reguła przesunięcia parametrów

Wnikliwa analiza krajobrazu energetycznego obwodów PQC w kontekście algorytmu VQE ujawnia, że kluczem do zachowania stabilności optymalizacji jest strukturalna redukcja redundancji w przestrzeni parametrów. W tradycyjnych podejściach parametrycznych każda bramka rotacyjna wprowadza dodatkowy stopień swobody, który bez odpowiedniej kontroli rozszerza przestrzeń stanów do rozmiarów uniemożliwiających zbieżność. Wprowadzenie technik regularyzacji opartych na kwantowej entropii von Neumanna pozwala monitorować stopień splątania generowanego w kolejnych warstwach obwodu. Zbyt szybkie narastanie splątania w początkowych warstwach jest bezpośrednim sygnałem wchodzenia układu w reżim losowej miary Haara, co natychmiast indukuje jałowy płaskowyż. Z tego względu nowoczesne strategie trenowania faworyzują podejścia stopniowe, w których splątanie wielokubitowe jest wprowadzane powoli, a wagi bramek dwukubitowych podlegają restrykcyjnym ograniczeniom fazowym w początkowych epokach optymalizacji.

Kolejnym fundamentalnym zagadnieniem w praktycznej implementacji kwantowych sieci neuronowych jest wpływ dekoherencji środowiskowej i szumów kwantowych na geometrię funkcji kosztu. W obecności szumów relaksacji termicznej T1 oraz defazowania T2 jałowe płaskowyże mogą przybrać jeszcze groźniejszą postać, określaną jako szumowe płaskowyże, czyli noise-induced barren plateaus. W przeciwieństwie do płaskowyżów wynikających wyłącznie z geometrii anzatza, płaskowyże wywołane szumem powstają nawet przy zastosowaniu płytkich obwodów o lokalnych funkcjach kosztu, jeśli tylko głębokość obwodu przekroczy krytyczny próg określony przez czas życia kubitów. Każda dodatkowa warstwa bramek w obecności niespójnych kanałów kwantowych powoduje wykładnicze tłumienie czystości stanu i jego konwergencję do stanu maksymalnie mieszanego. Ponieważ stan maksymalnie mieszany jest całkowicie symetryczny i nie niesie żadnej informacji o parametrach wejściowych, funkcja kosztu staje się doskonale płaska w sposób bezwzględny, a żaden gradient analityczny nie jest w stanie wskazać kierunku optymalizacji.

Wpływ szumów termicznych i techniki łagodzenia błędów w NISQ

Z tego względu współczesne algorytmy QML integrują zaawansowane techniki łagodzenia błędów, określane jako quantum error mitigation, do których należą ekstrapolacja do zerowego szumu ZNE oraz probabilistyczne kasowanie błędów PEC. W technice ZNE obwód kwantowy jest celowo uruchamiany przy sztucznie podwyższonych poziomach szumu, na przykład poprzez cyfrowe rozciąganie impulsów mikrofalowych lub wprowadzanie tożsamościowych sekwencji bramek unitarnych, po czym uzyskane wartości oczekiwane są ekstrapolowane do teoretycznego punktu zerowego szumu za pomocą dopasowania wielomianowego lub wykładniczego. Pozwala to na odzyskanie autentycznego gradientu funkcji kosztu bez konieczności stosowania pełnej, zasobożernej korekcji błędów opartej na kodach powierzchniowych. Ta odporność na szum na poziomie estymacji gradientu jest krytyczna dla utrzymania zbieżności algorytmów optymalizacyjnych na współczesnych platformach NISQ.

W kontekście kwantowego uczenia maszynowego nadzorowanego niezwykle interesująco przedstawia się zagadnienie pojemności uogólniania modeli kwantowych, charakteryzowane przez wymiar Vapnika-Chervonenkisa oraz złożoność Rademachera. W klasycznych sieciach neuronowych zapobieganie przeuczeniu wymaga stosowania technik takich jak dropout, wczesne zatrzymanie czy regularyzacja wag L2. W kwantowych sieciach neuronowych naturalnym regulatorem jest skończona liczba dostępnych kubitów oraz unitarność transformacji, która z definicji zachowuje normę wektora stanu w przestrzeni Hilberta. Ograniczenie to sprawia, że modele kwantowe wykazują zaskakująco wysoką odporność na przeuczenie na małych zbiorach danych, pod warunkiem, że mapa cech nie indukuje nadmiernej ekspresywności. Teoretyczne granice błędu generalizacji dla modeli opartych na kwantowych jądrach dowodzą, że przewaga kwantowa może manifestować się nie tylko w postaci szybszego czasu obliczeń, lecz przede wszystkim w postaci radykalnie mniejszej liczby próbek treningowych wymaganych do osiągnięcia zadanego poziomu dokładności klasyfikatora.

Pojemność uogólniania i perspektywy przemysłowej integracji QML

Zastosowanie kwantowego uczenia maszynowego w optymalizacji kombinatorycznej, w szczególności w ramach algorytmu aproksymacji kwantowej QAOA, stanowi kolejny filar praktycznego wykorzystania obwodów PQC. W algorytmie QAOA układ jest naprzemiennie poddawany ewolucji pod wpływem hamiltonianu problemu, kodującego funkcję kosztu w fazach poszczególnych stanów bazowych, oraz hamiltonianu miksera, generującego przejścia pomiędzy stanami za pomocą jednolitych rotacji wokół osi X. Zadaniem klasycznego optymalizatora jest znalezienie optymalnego profilu czasowego trwania tych ewolucji dla kolejnych warstw algorytmu. W miarę wzrostu liczby warstw P krajobraz optymalizacyjny QAOA staje się wysoce złożony, jednak odpowiednia parametryzacja adiabatyczna oraz wykorzystanie technik transferu parametrów pomiędzy problemami o różnej skali pozwala na skuteczne unikanie pułapek lokalnych minimów i efektywne wyznaczanie rozwiązań bliskich optymalnym w problemach logistyki, planowania sieci elektroenergetycznych oraz routingu telekomunikacyjnego.

Wreszcie, rozwój dedykowanych bibliotek oprogramowania, takich jak Pennylane, Qiskit Machine Learning czy Cirq, umożliwił bezproblemową integrację obwodów kwantowych z powszechnie stosowanymi frameworkami uczenia maszynowego, w tym PyTorch i TensorFlow. Dzięki mechanizmom automatycznego różniczkowania programiści mogą definiować hybrydowe grafy obliczeniowe, w których klasyczne warstwy konwolucyjne przetwarzają surowe dane wejściowe, ekstrahując kluczowe cechy niskowymiarowe, które następnie trafiają do kwantowej warstwy PQC odpowiedzialnej za uchwycenie nieliniowych korelacji wielociałowych w przestrzeni Hilberta, po czym wynik pomiaru jest przekazywany do końcowej klasycznej warstwy gęstej. Taka kompozycja pozwala na optymalne wykorzystanie zalet obu światów: klasyczna część modelu odpowiada za redukcję wymiarowości i wstępną filtrację sygnału, podczas gdy wyspecjalizowany rdzeń kwantowy realizuje transformacje o wykładniczej złożoności, otwierając drogę do realnych przewag wydajnościowych w zadaniach analizy danych sejsmicznych, rozpoznawania cząstek elementarnych w eksperymentach fizyki wysokich energii oraz odkrywania nowych leków.

W ujęciu systemowym i architektonicznym dalszy postęp kwantowego uczenia maszynowego zależeć będzie od rozwoju technologii precyzyjnego sterowania falami milimetrowymi oraz skalowalnych interkonektów kriogenicznych. Współczesne komputery kwantowe wymagają setek indywidualnych kabli współosiowych wprowadzanych do wnętrza kriostatu, co generuje ogromne obciążenie cieplne na najniższych stopniach chłodzenia w temperaturze piętnastu milikelwinów. Wprowadzenie kriogenicznych układów scalonych CMOS, pracujących bezpośrednio w temperaturze czterech kelwinów i generujących impulsy sterujące bramkami z użyciem modulacji fazowej IQ, stanowi niezbędny krok w kierunku budowy procesorów liczących tysiące kubitów. Dopiero na takich platformach algorytmy kwantowego uczenia maszynowego będą w stanie w pełni rozwinąć swoje unikalne możliwości, łącząc odporność na dekoherencję z bezprecedensową siłą ekspresyjną w wielowymiarowych przestrzeniach Hilberta.